18.75开根号等于(yu)多少（1518.75开根号）

梯度下降(jiang)是非常常用的优化算法。作为机器学习(xi)的基础知识，这是一个必须要掌握的算(suan)法。借助本文，让我们来一起详细(xi)了解一下这个算法。

本文的代(dai)码可以到我的Github上获取：

https://github.com/paulQuei/gradient_descent

本文的算法示例通过Python语言实现，在实现中使(shi)用到了numpy和matplotlib。如果你(ni)不熟悉这两个工具，请自(zi)行在网上搜索教程。

大多数学习算(suan)法都涉及某种形式的优化。优(you)化指的是改变x以最小化或者最(zui)大化某个函数的(de)任务。

我们通常(chang)以最小化指代大多数最(zui)优化问题。最大化可经由最小化(hua)来实现(xian)。

我们把要最小化或最大(da)化的函数成为目标函数（objective function）或准则（criterion）。

我们通常使用一(yi)个上标*表示最小化或最大(da)化函数的x值，记做这样(yang)：

[x^*=arg; min; f(x)]

优化(hua)本身是一个非常大的话题。如果有(you)兴趣，可以通过《数值优(you)化》和《运筹学》的书籍进行学习。

所有的模(mo)型都是错误的，但其中有些(xie)是有用的。– George Edward Pelham Box

模型是我们(men)对要分析的数据的一种假设，它(ta)是为解决某个具体问题从数据中学习到(dao)的，因此它是机器学习最核心的(de)概念。

针对一个问题，通常有大(da)量的模型可以选(xuan)择。

本文不会深入讨论这方面(mian)的内容，关于各种模型请参阅(yue)机器学习的相关书籍。本文仅以(yi)最简单的线性模型为基础来讨论梯度(du)下降算法。

这里我们先介绍一下(xia)在监督学习（supervised learning）中常见的三个符号：

请注意，一个样(yang)本可能有很多的特征，因此x和y通常是一个向量。不过在刚(gang)开始学习的时候，为了便于理解，你可以暂时理解为这就是一个具体的数(shu)值。

训练集会包含(han)很多的样本，我们用 表示其中第i个样本。

x是数据样本的特征，y是(shi)其目标值。例如(ru)，在预测房价的模型中，x是(shi)房子的各种信息，例如：面积，楼层，位置等等(deng)，y是房子的价格。在图像识别的任(ren)务中，x是图形的所有像素点数据，y是图像中包含的目标对象(xiang)。

我们是希望寻找一个函(han)数，将x映射到y，这(zhe)个函数要足够的好，以至于能够预测对应的(de)y。由于历史原因，这个函数叫做假设(she)函数（hypothesis function）。

学习的(de)过程如下图所示。即：首先(xian)根据已有的数据（称之为训练集）训练我们的算法模型(xing)，然后根据模型的假设(she)函数来进行新数据的预测。

线性模型（linear model）正如其名称那样：是希(xi)望通过一个直线的形式来描述模式。线(xian)性模型的假设函数如下所(suo)示：

[h_{\theta}(x)=\theta_{0} + \theta_{1} * x]

这个公式对于大家来说应该(gai)都是非常简单的。如果把它绘制出(chu)来，其实就是一条直线。

下图是一个具体的例(li)子，即： 的图形：

在实际的机器学(xue)习工程中，你会(hui)拥有大量的数据。这些数据会来自(zi)于某个数据源。它们存储在(zai)csv文件中，或者以其他(ta)的形式打包。

但是本文作为演(yan)示使用，我们通过一些简单的代码自动(dong)生成了需要的数据。为了便于计算(suan)，演示的数据量也很小。

import numpy as np
max_x=10
data_size=10
theta_0=5
theta_1=2
def get_data():
 x=np.linspace(1, max_x, data_size)
 noise=np.random.normal(0, 0.2, len(x))
 y=theta_0 + theta_1 * x + noise
return x, y

这段代码很(hen)简单，我们生成了x范围(wei)是 [1, 10] 整数的10条数据。对应的y是以线性(xing)模型的形式计算得到，其函(han)数是：。现实中的数据常常受到各(ge)种因素的干扰，所以对于y我们故(gu)意加上了一些高斯噪(zao)声。因此最终的y值(zhi)为比原先会有轻微的偏离。

最后我们的数据(ju)如下所示：

x=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
y=[6.66, 9.11, 11.08, 12.67, 15.12, 16.76, 18.75, 21.35, 22.77, 24.56]

我们可以(yi)把这10条数据绘制出来这样就(jiu)有一个直观的了解(jie)了，如下图所示：

虽(sui)然演示用的数据是我(wo)们通过公式计算得到的。但在实际(ji)的工程中，模型(xing)的参数是需要我们通过数据学习到的。所以下文我们假设我们不知(zhi)道这里线性模式的(de)两个参数是什么(me)，而是通过算法(fa)的形式求得。

最后再跟已(yi)知的参数进行对比以验证(zheng)我们的算法是否正确。

有了上面的(de)数据，我们可以尝试(shi)画一条直线来描述我们的模型。

例如，像下面这样画一条水平(ping)的直线：

很显然，这条(tiao)水平线离数据太远了，非常的(de)不匹配。

那我们可以(yi)再画一条斜线。

我们初次画的斜(xie)线可能也不贴切，它可(ke)能像下面这样：

最(zui)后我们通过不断尝(chang)试，找到了最终最合(he)适的那条，如下所示：

梯度下降(jiang)算法的计算过程，就(jiu)和这种本能式的试探是类似的，它就是不停的迭代，一步步的接近最(zui)终的结果。

上面我们尝试了几次通过一条直线来(lai)拟合（fitting）已有的数(shu)据。

二维平面(mian)上的一条直线可以通过(guo)两个参数唯一的确定，两个(ge)参数的确定也即模型的确定。那(na)如何描述模型与数(shu)据的拟合程度呢？答案(an)就是代价函数。

代价函(han)数（cost function）描述(shu)了学习到的模型与实际结果的偏差(cha)程度。以上面的三幅图为例，最后一(yi)幅图中的红线相比第(di)一条水平的绿线，其偏离程(cheng)度（代价）应该是(shi)更小的。

很显然，我们希望我们的假设(she)函数与数据尽可能的贴近，也就是(shi)说：希望代价函数(shu)的结果尽可能的小。这就涉及到(dao)结果的优化，而梯(ti)度下降就是寻找最小值(zhi)的方法之一。

代价函(han)数也叫损失函数。

对于每一个样本(ben)，假设(she)函数会依据计算出一(yi)个估算值，我们常常用(yong)来表示。即 。

很自然的，我们会想(xiang)到，通过下面这个公式(shi)来描述我们的模型与实际值的偏(pian)差程度：

[(h_\theta(x^i) - y^i)^2=(\widehat{y}^{i} - y^i)^2=(\theta_{0} + \theta_{1} * x^{i} - y^{i})^2]

请注意， 是实(shi)际数据的值， 是我们的模型的估算值(zhi)。前者对应了上图中的离散点的y坐标(biao)，后者对应了离散点(dian)在直线上投影点的y坐标。

每一条数据都会存在(zai)一个偏差值，而代价函数就是对所有样(yang)本的偏差求平均值，其计算(suan)公式如下所示：

[L(\theta)=\frac {1}{m} \sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^i) - y^i)^2=\frac {1}{m} \sum_{i=1}^{m}(\theta_{0} + \theta_{1} * x^{i} - y^{i})^2]

当损失函数的结(jie)果越小，则意味着通过(guo)我们的假设函数估算出的结果与真实(shi)值越接近。这也(ye)就是为什么我们要最小化损失函数的(de)原因。

不(bu)同的模型可能会用不同的损失函(han)数。例如，logistic回归的(de)假设函数是这样的：。其代(dai)价函数是这样的：。当然，如果你不知道(dao)什么是logistic回归也不要紧，本文不依赖(lai)这个知识。

借助上面这(zhe)个公式，我们可以(yi)写一个函数来实现代价函数：

def cost_function(x, y, t0, t1):
 cost_sum=0
for i in range(len(x)):
 cost_item=np.power(t0 + t1 * x[i] - y[i], 2)
 cost_sum +=cost_item
return cost_sum / len(x)

这个函数(shu)的代码应该不用多做解(jie)释，它就是根据上(shang)面的完(wan)成计算。

我们可以尝试选(xuan)取不同的 和 组合来计算代价函(han)数的值，然后将结果绘制出来：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
theta_0=5
theta_1=2
def draw_cost(x, y):
 fig=plt.figure(figsize=(10, 8))
 ax=fig.gca(projection='3d')
 scatter_count=100
 radius=1
 t0_range=np.linspace(theta_0 - radius, theta_0 + radius, scatter_count)
 t1_range=np.linspace(theta_1 - radius, theta_1 + radius, scatter_count)
 cost=np.zeros((len(t0_range), len(t1_range)))
for a in range(len(t0_range)):
for b in range(len(t1_range)):
 cost[a][b]=cost_function(x, y, t0_range[a], t1_range[b])
 t0, t1=np.meshgrid(t0_range, t1_range)
 ax.set_xlabel('theta_0')
 ax.set_ylabel('theta_1')
 ax.plot_surface(t0, t1, cost, cmap=cm.hsv)

在这段代码中(zhong)，我们对 和 各自指(zhi)定了一个范围进行100次的采样，然(ran)后以不同的 组合(he)对来计算代价函数的值。

如果我们将所有点的代价函(han)数值绘制出来，其结(jie)果如下图所示：

从这个图形中(zhong)我们可以看出，当 51调休(xiu)安排（51调休工资怎么算）